Question

【題目】已知橢圓過點 ，兩個焦點為（，0），（，0）.

（1）求橢圓的方程；

（2）求以點 為中點的弦所在的直線方程，并求此時的面積.

Answer 1

【答案】（1） （2）直線的方程為

【解析】

（1）由橢圓C兩個焦點的坐標分別是，并且經過點，列出方程組，求出，由此求出橢圓C的標準方程；

（2）設，由恰是弦AB的中點，得，把代入橢圓，利用點差法能求出弦AB所在直線斜率，從而求得直線的方程，進一步求得三角形的面積.

（1）因為橢圓C的兩個焦點的坐標分別是，

并且經過點，

所以，

解得，

所以橢圓C的標準方程為；

（2）設，

因為過橢圓C內一點做一條直線交橢圓于A,B兩點，

點M恰為弦AB的中點，所以，

把代入橢圓，得：

，兩式相減得，

所以，

所以弦AB所在的直線方程為：，即；

由，可得，

由弦長公式可求得，

點O到直線的距離為，

由三角形面積公式可求得.