Question

13．正實(shí)數(shù)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₉=7，且a_n+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^2-（{a}_{n-1}+1）}{{a}_{n-1}+1}$（n∈N⁺，n≥2）則a₅=（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 16
• D． 9

Answer 1

分析 由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知求得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{（{a}_{n}+1）^2-（{a}_{n-1}+1）}{{a}_{n-1}+1}$，得${a}_{n+1}=\frac{（{a}_{n}+1）^{2}}{{a}_{n-1}+1}-1$，
即$（{a}_{n+1}+1）（{a}_{n-1}+1）=（{a}_{n}+1）^{2}$（n∈N⁺，n≥2），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，
則$（{a}_{5}+1）^{2}=（{a}_{1}+1）（{a}_{9}+1）=2×8=16$，
∵a_n＞0，∴a₅+1=4，則a₅=3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題．