Question

3．在${（\sqrt{x}+\frac{2}{x^2}）^n}（n∈{N^*}）$的展開(kāi)式中，若第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)之比為56：3，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（　　）

• A． 第2項(xiàng)
• B． 第3項(xiàng)
• C． 第4項(xiàng)
• D． 第5項(xiàng)

Answer 1

分析 在展開(kāi)式的通項(xiàng)中，令x=1得出第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)表達(dá)式，由已知，求出n，再在通項(xiàng)中令x得指數(shù)為0，確定常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=${C}_{n}^{r}•{2}^{r}•{x}^{\frac{n-5r}{2}}$
第5項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{n}^{4}$•2⁴，第3項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{n}^{2}$•2²，
由已知，得出${C}_{n}^{4}$•2⁴：${C}_{n}^{2}$•2²=56：3，解得n=10
令10-5r=0，可得r=2時(shí)，取到常數(shù)項(xiàng)，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：求指定的項(xiàng)．牢記公式是基礎(chǔ)，方程思想是關(guān)鍵．