Question

6．已知x，y∈R，向量$\overrightarrow{α}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$是矩陣$[\begin{array}{l}{x}&{1}\\{y}&{0}\end{array}]$的屬于特征值-2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值．

Answer 1

分析 利用A$\overrightarrow{α}$=-2$\overrightarrow{α}$，可得A=$[\begin{array}{l}{-1}&{1}\\{2}&{0}\end{array}]$，通過(guò)令矩陣A的特征多項(xiàng)式為0即得結(jié)論．

解答 解：由已知，可得A$\overrightarrow{α}$=-2$\overrightarrow{α}$，即$[\begin{array}{l}{x}&{1}\\{y}&{0}\end{array}]$ $[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x-1}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-2}\\{2}\end{array}]$，
則$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴矩陣A=$[\begin{array}{l}{-1}&{1}\\{2}&{0}\end{array}]$，
從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f（λ）=（λ+2）（λ-1），
∴矩陣A的另一個(gè)特征值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求矩陣及其特征值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．