Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，${a_{n+1}}=\frac{1}{{b-{a_n}}}$，n∈N^*．
（1）若b=2，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令${c_n}=\frac{{{a_n}-p}}{{p{a_n}-1}}$（其中常數(shù)p＞0，且p≠1），若{c_n}是等比數(shù)列，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若b=2，利用構(gòu)造法或歸納法即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）根據(jù){c_n}是等比數(shù)列，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）（方法一構(gòu)造數(shù)列法） 當(dāng)b=2時，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$，${a_{n+1}}-1=\frac{1}{{2-{a_n}}}-1=\frac{{{a_n}-1}}{{2-{a_n}}}$，
…（2分）
而{a_n}中的任意一項不為1，（否則的話，由a_n+1=1可以得到a_n=1，…，與a₁=0≠1矛盾），
…（3分）
所以$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}=\frac{{2-{a_n}}}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{{{a_n}-1}}-1$，即$\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=-1$（常數(shù)），（n∈N*）．
故$\{\frac{1}{{{a_n}-1}}\}$是首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列．…（5分）
所以，$\frac{1}{{{a_n}-1}}=-n$，則數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}=1-\frac{1}{n}$，（n∈N*）．…（6分）
（方法二舉例-猜想-證明） 當(dāng)b=2時，a₁=0，${a_2}=\frac{1}{2}$，${a_3}=\frac{2}{3}$，${a_4}=\frac{3}{4}$，…（1分）
猜想：${a_n}=\frac{n-1}{n}$，（n∈N*）．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時，$\frac{1-1}{1}=0={a_1}$，猜想正確．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時，猜想正確，即${a_k}=\frac{k-1}{k}$．…（3分）
那么，當(dāng)n=k+1時，${a_{k+1}}=\frac{1}{{b-{a_k}}}=\frac{1}{{2-\frac{k-1}{k}}}=\frac{（k+1）-1}{k+1}$，
即當(dāng)n=k+1時，猜想也正確．…（5分）
由①，②，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，猜想：${a_n}=\frac{n-1}{n}$，（n∈N*）正確．…（6分）
（2）（方法一）依題意，有${c_{n+1}}=\frac{{{a_{n+1}}-p}}{{p{a_{n+1}}-1}}=\frac{{\frac{1}{{b-{a_n}}}-p}}{{\frac{p}{{b-{a_n}}}-1}}=\frac{{p{a_n}-pb+1}}{{{a_n}-b+p}}={p^2}•\frac{{{a_n}-p（\frac{p}-\frac{1}{p^2}）}}{{p{a_n}-（pb-{p^2}）}}$，…（9分）
令$\frac{p}-\frac{1}{p^2}=1$，則$b=p+\frac{1}{p}$．…（10分）
此時，$b=p+\frac{1}{p}＞2\sqrt{p×\frac{1}{p}}=2$，（∵p＞0，p≠1 ），∴實數(shù)b的取值范圍：（2，+∞）．
…（14分）
（方法二）令1-bp=p²，因為${a_{n+1}}=\frac{1}{{b-{a_n}}}$，（n∈N*）．
所以${a_{n+1}}-p=\frac{1}{{b-{a_n}}}-p=\frac{{p{a_n}-bp+1}}{{b-{a_n}}}=\frac{{p{a_n}-{p^2}}}{{b-{a_n}}}=p•\frac{{{a_n}-p}}{{b-{a_n}}}$，①…（8分）
$p{a_{n+1}}-1=\frac{p}{{b-{a_n}}}-1=\frac{{{a_n}-b+p}}{{b-{a_n}}}=\frac{1}{p}•\frac{{p{a_n}-bp+{p^2}}}{{b-{a_n}}}=\frac{1}{p}•\frac{{p{a_n}-1}}{{b-{a_n}}}$，②…（10分）
①÷②，得$\frac{{{a_{n+1}}-p}}{{p{a_{n+1}}-1}}={p^2}•\frac{{{a_n}-p}}{pb-1}$，
即c_n+1=p²c_n，（n∈N*）．即1-bp=-p²時，能保證數(shù)列{c_n}是以p為首項，p²為公比的等比數(shù)列．…（12分）
此時，由1-bp=-p²，得$b=p+\frac{1}{p}＞2\sqrt{p×\frac{1}{p}}=2$，（∵p＞0，p≠1 ），
∴實數(shù)b的取值范圍：（2，+∞）．…（14分）

點評 本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，利用構(gòu)造法是求解通項公式的基本方法，結(jié)合等比數(shù)列的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．