Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí)，若曲線與曲線存在唯一的公切線，求實(shí)數(shù)的值;

(3)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）

【解析】

（1），分和討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）曲線，曲線，設(shè)該公切線與分別切于點(diǎn)，顯然，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和兩點(diǎn)間的斜率公式求得，解得，

問(wèn)題等價(jià)于直線與曲線在時(shí)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求的值域；

（3）問(wèn)題等價(jià)于不等式，當(dāng)時(shí)恒成立，設(shè)，先求，再求，分和兩種情況討論函數(shù)的最小值，判斷是否成立.

解:(1)，

當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，由，解得，

由于時(shí)，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，

故，單調(diào)遞減，

單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. .

(2)曲線與曲線存在唯一公切線，設(shè)該公切線與分別切于點(diǎn)，顯然.

由于，

所以，

，

由于，故，且

因此，

此時(shí)，

設(shè)

問(wèn)題等價(jià)于直線與曲線在時(shí)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，

又，令，解得，

則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

而，當(dāng)時(shí)，

所以的值域?yàn)?/span>.

故.

(3)當(dāng)時(shí)，，問(wèn)題等價(jià)于不等式

，當(dāng)時(shí)恒成立.

設(shè)，，

又設(shè)

則

而.

(i)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

由于，

此時(shí)在上單調(diào)遞增.

所以

即，所以在上單調(diào)遞增

所以，

即，

故適合題意.

(ii)當(dāng)時(shí)，，

由于在上單調(diào)遞增，

令，

則，

故在上存在唯一，使，

因此當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

所以，

即在上單調(diào)遞減，

故，

亦即，

故時(shí)不適合題意，

綜上，所求的取值范圍為.