Question

【題目】已知函數， （為自然對數的底數）．

（Ⅰ）當時，求函數在點處的切線方程；

（Ⅱ）若函數有兩個零點，試求的取值范圍；

（Ⅲ）當時， 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】試題分析：（1）根據導數的幾何意義得到， ，根據這兩點可以寫出切線方程。（2）對函數進行單調性的研究，分， ， ,三種情況討論單調性，研究函數的圖像變換趨勢，得到參數方位。（3）原不等式等價于恒成立，對右側函數研究單調性得最值即可。

解析：

（Ⅰ）當時， .， .

所以函數在點處的切線方程為.

（Ⅱ）函數的定義域為，由已知得.

①當時，函數只有一個零點；

②當，因為，

當時， ；當時， .

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增. 又， ，

因為，所以， 所以，所以

取，顯然且

所以， .

由零點存在性定理及函數的單調性知，函數有兩個零點.

③當時，由，得，或.

當，則.當變化時， ， 變化情況如下表：

注意到，所以函數至多有一個零點，不符合題意.

當，則， 在單調遞增，函數至多有一個零點，不符合題意.

若，則.當變化時， ， 變化情況如下表：

注意到當， 時， ， ，所以函數至多有一個零點，不符合題意.

綜上， 的取值范圍是.

（Ⅲ）當時， ，

即,令，則

令，則

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增

又， ，所以，當時， ，即，

所以單調遞減；當時， ，即，

所以單調遞增，所以，所以．