Question

【題目】在三棱錐中， 和是邊長為的等邊三角形， ， 分別是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求證: 平面；

（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）.

【解析】試題分析：（1）欲證OD∥平面PAC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證OD與平面PAC內(nèi)一直線平行，而OD∥PA，PA平面PAC，OD平面PAC，滿足定理?xiàng)l件； （2）欲證平面PAB⊥平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面PAB內(nèi)一直線與平面ABC垂直，而根據(jù)題意可得PO⊥平面ABC；

（3）根據(jù)OP垂直平面ABC得到OP為三棱錐P-ABC的高，根據(jù)三棱錐的體積公式可求出三棱錐P-ABC的體積．又因?yàn)镈為PB中點(diǎn)，所以高是PO的一半.

試題解析：（1）∵分別為的中點(diǎn)，

∴.

又平面, 平面，

∴平面.

（2）連接,∵為中點(diǎn)， ,

∴.

同理， .

又，

∴，

∴.

∴.

∵，

∴平面.

（3）由（2）可知平面，

∴為三棱錐的高，且.

∴.