Question

【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為 (其中為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系并取相同的單位長度，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）把曲線的方程化為普通方程， 的方程化為直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線， 相交于兩點(diǎn)， 的中點(diǎn)為，過點(diǎn)做曲線的垂線交曲線于兩點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（1）， （2）16

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)代入消元法將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，利用 將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先聯(lián)立與方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求,設(shè)直線EF參數(shù)方程,與方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理以及參數(shù)幾何意義得.

試題解析：（1）曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），消去參數(shù)可得.

曲線的極坐標(biāo)方程為，展開為，化為..

（2）設(shè)，且中點(diǎn)為，

聯(lián)立，

解得，

∴.

∴.

線段的中垂線的參數(shù)方程為

（為參數(shù)），

代入，可得，

∴，

∴.