Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，,,,平面.

（Ⅰ）點在棱上，試確定點的位置，使得平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當為中點時.（Ⅱ）二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據題意，以為坐標原點，射線，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，設,若，則，即，在空間直角坐標系中求出相應向量坐標，可求出，由此確定點的位置（Ⅱ）在空間直角坐標系中求出平面的一個法向量，再求出平面的一個法向量，利用夾角公式即可求得二面角的余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）∵∴；又∵，∴，可得，，以為坐標原點，射線，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，設，則，，，.

（Ⅰ）,故；

設,若，則，即,

即，即，即當為中點時，，

則.所以當為中點時.

（Ⅱ）設平面的一個法向量，

，,則且，

即且，

令，則，，則，

再取平面的一個法向量.

則，

故二面角的余弦值為.