Question

10．關于x的方程2x²-4（m-1）x+m²+7=0的兩根之差的絕對值小于2，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 由△≥求得m≥5，或 m≤-1，且兩根之差的絕對值|x₁-x₂|＜2，求得m²-4m+7＜0的解集，綜合可得m的范圍．

解答 解：∵關于x的方程2x²-4（m-1）x+m²+7=0的兩根之差的絕對值小于2，∴△=[-4（m-1）]²-8（m²+7）≥0，
即 m²-4m-5≥0，求得m≤-1或 m≥5 ①．
又x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=$\frac{{m}^{2}+7}{2}$，
故兩根之差的絕對值|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{{[2（m-1）]}^{2}-4•\frac{{m}^{2}+7}{2}}$＜2，
即 m²-4m+7＜0，求得2-$\sqrt{11}$＜m＜2+$\sqrt{11}$ ②．
綜合①②可得，2-$\sqrt{11}$＜m≤-1，或5≤m＜2+$\sqrt{11}$．

點評 本題主要考查一元二次方程根的分布與系數的關系，二次函數的性質，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．