Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（I）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（II）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；

（III）是否存在這樣的負(fù)實(shí)數(shù)，使對(duì)一切恒成立，若存在，試求出取值的集合；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】分析：（I）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
（II）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性 定義進(jìn)行判斷．
（III）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進(jìn)行求解即可．

詳解：

（I）∵，

∴是奇函數(shù).

（II）在上為減函數(shù).

證明：任取且，

則

，

∵ ，

∴，

得，得到，

∴在上為減函數(shù)；

（III）∵ ，

∵在上為減函數(shù)，

∴對(duì)恒成立

由對(duì)恒成立得：

對(duì)恒成立，

令，

∵，∴，

∴，得，

由對(duì)恒成立得：

，由對(duì)恒成立得：，

即綜上所得：，

所以存在這樣的，其范圍為.