Question

6．某工廠經(jīng)過市場調(diào)查，甲產(chǎn)品的日銷售量P（單位：噸）與銷售價(jià)格x（單位：萬元/噸）滿足關(guān)系式P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+21，}&{3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，}&{6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a為常數(shù)），已知銷售價(jià)格4萬元/噸時(shí)，每天可售出該產(chǎn)品9噸．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若該產(chǎn)品的成本價(jià)格為3萬元/噸，當(dāng)銷售價(jià)格為多少時(shí)，該產(chǎn)品每天的利潤最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由銷售價(jià)格為4萬元/噸時(shí)，每日可銷售出該商品9噸，建立方程，即可得到a的值；
（Ⅱ）商場每日銷售該商品所獲得的利潤=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤，可得日銷售量的利潤函數(shù)為關(guān)于x的函數(shù)，再用求基本不等式和二次函數(shù)求得最值，從而得出最大值對應(yīng)的x值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得x=4，p=9，
由P=$\left\{\begin{array}{l}{-ax+21，}&{3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，}&{6＜x≤9}\end{array}\right.$（其中a為常數(shù)），
可得21-4a=9，解得a=3；
（Ⅱ）由上面可得P=$\left\{\begin{array}{l}{21-3x，3＜x≤6}\\{\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}，6＜x≤9}\end{array}\right.$，
該商品所獲得的利潤為y=P（x-3）=$\left\{\begin{array}{l}{3（7-x）（x-3），3＜x≤6}\\{（x-3）（\frac{84}{{x}^{2}}+\frac{7}{x}），6＜x≤9}\end{array}\right.$，
當(dāng)3＜x≤6時(shí)，y=3（7-x）（x-3）≤3（$\frac{7-x+x-3}{2}$）²=12，
當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)，取得最大值12；
當(dāng)6＜x≤9時(shí)，y=（x-3）（$\frac{84}{{x}^{2}}$+$\frac{7}{x}$）=7+$\frac{63}{x}$-$\frac{252}{{x}^{2}}$=-252（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{175}{16}$，
當(dāng)x=8時(shí)，取得最大值$\frac{175}{16}$．
綜上可得x=5時(shí)，取得最大值12．
即有當(dāng)銷售價(jià)格為5萬元/噸時(shí)，該產(chǎn)品每天的利潤最大且為12萬元．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用基本不等式和配方結(jié)合二次函數(shù)的最值求得，屬于中檔題．