Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=a（bⁿ-1）（a≠0，b≠0且b≠1），證明：{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列結(jié)合條件先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行證明即可．

解答 證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=a（bⁿ-1）-a（b^n-1-1）=a•bⁿ-a•b^n-1=a•b^n-1（b-1），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=a（b-1），滿足a_n=a•b^n-1（b-1），
綜上a_n=a•b^n-1（b-1），
∵a≠0，b≠0且b≠1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{a•^{n-1}（b-1）}{a•^{n-2}（b-1）}$=b為常數(shù)，
故{a_n}是公比q=b的等比數(shù)列．

點(diǎn)評 本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，根據(jù)條件先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．