Question

如圖，正三棱柱的底面邊長是，側(cè)棱長是，是的中點(diǎn)．

（1）求證：∥平面；

（2）求二面角的大小；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求出的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）證明：連結(jié)交于，連結(jié)，因?yàn)槿�棱�?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/30/05/2015053005583987447263.files/image050.gif'>是正三棱柱，

所以四邊形是矩形，所以為的中點(diǎn)．因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/30/05/2015053005583987447263.files/image052.gif'>是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以∥．   因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/30/05/2015053005583987447263.files/image104.gif'>平面，平面，所以∥平面．

（2）解：作于，所以平面，所以在正三棱柱中如圖建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/30/05/2015053005583987447263.files/image111.gif'>，，是的中點(diǎn)．所以，，，，所以，，

．設(shè)是平面的法向量，所以即令，則，，所以是平面的一個(gè)法向量．由題意可知是平面的一個(gè)法向量，  所以．  所以二面角的大小為． 

（3）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，所以即

令，則，， ，又，即，解得，所以存在點(diǎn)，使得平面平面且．