Question

已知橢圓：的離心率為，一條準(zhǔn)線．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)．

①若=，求圓的方程；

②若是上的動(dòng)點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定圓上，并求該定圓的方程．

 

 

Answer 1

（1）；（2）或；（3）點(diǎn)在定圓上

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；(2)根據(jù)圓的圓心坐標(biāo)和半徑求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)直線和圓相交，根據(jù)半徑，弦長(zhǎng)的一半，圓心距求弦長(zhǎng)，圓的弦長(zhǎng)的常用求法：（1）幾何法：求圓的半徑，弦心距，弦長(zhǎng)，則（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式.（4）與圓有關(guān)的探索問(wèn)題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用直線與圓的位置關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn).

試題解析：【解析】
（1）由題意可知：，

解得，

所以橢圓的方程為

由①知：，設(shè)，

則圓的方程：

直線的方程：

所以圓的方程：或

②證明：設(shè)，

由①知，化簡(jiǎn)得

消去得：

所以點(diǎn)在定圓上.

考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）與圓有關(guān)的探索問(wèn)題.