Question

6．（1）若復(fù)數(shù)z₁=a+i，z₂=1-i（i為虛數(shù)單位）且z₁•z₂為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值．
（2）已知函數(shù)f（x）=xlnx，求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及純虛數(shù)的定義即可得出；
（2）f′（x）=lnx+1，分別令f′（x）＞0；令f′（x）＜0，即可得出函數(shù)f（x）單調(diào)性．對(duì)t與$\frac{1}{e}$的大小關(guān)系分類討論：當(dāng)t≥$\frac{1}{e}$時(shí)，當(dāng)$0＜t＜\frac{1}{e}$時(shí)，再利用其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）z₁•z₂=（a+i）（1-i）=（a+1）+（1-a）i為純虛數(shù)，∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1=0}\\{1-a≠0}\end{array}\right.$，解得a=-1．
（2）f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0，解得x$＞\frac{1}{e}$，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；令f′（x）＜0，解得0＜x$＜\frac{1}{e}$，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
①當(dāng)t≥$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f（t）=tlnt；
②當(dāng)$0＜t＜\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）在[t，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在$（\frac{1}{e}，t+2]$上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，$f（\frac{1}{e}）$=-$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及純虛數(shù)的定義，考查了分類討論、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．