Question

已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點(diǎn)，，且.

（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）最小值為，此時.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，等價于有兩個不等的實數(shù)根，即有兩個不同的零點(diǎn)和，利用導(dǎo)數(shù)判斷的形狀， ，發(fā)現(xiàn)函數(shù)當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)，故；（Ⅱ），又，故，是自變量為，定義域的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，并計算相應(yīng)的值．

試題解析：（Ⅰ）∵ 函數(shù)恰有兩個不同的極值點(diǎn)，，即有兩個零點(diǎn)，，

∴方程有兩個不同的零點(diǎn)，，  令，，當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)，∴ 在時取得最小值．

∴ ．

（Ⅱ）∵，即，∴，于是

， ∴，∵，∴．

∴ 當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)．

∴ 在上的最小值為，此時.

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值.