Question

已知函數(shù)，如果函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，且.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求的最小值，并指出此時的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）因為 函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，，則

方程有兩個不同的零點，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，                         

當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)，所以在時取得最小值．∴ ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，所以 ，                     

于是，所以，，所以．所以 當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)，所以在上的最小值為，此時.

試題解析：（Ⅰ）∵ 函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，即有兩個零點，

∴ 方程有兩個不同的零點，  

令．

，

當(dāng)時，，是減函數(shù)；

當(dāng)時，，是增函數(shù)，

∴ 在時取得最小值．

∴ ．

（Ⅱ）∵，即，

∴

于是，

∴

∵ ，

∴ ．

∴ 當(dāng)時，，是減函數(shù)；

當(dāng)時，，是增函數(shù)

∴ 在上的最小值為，此時.

考點：1.函數(shù)中證明問題；3.函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.