Question

14．已知f（x）=3x²-3，g（x）=${∫}_{0}^{x}$f（t）dt（x＞0）．
（1）求g（x）的最小值；
（2）求由f（x），g（x），x=1，x=2所成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)定積分求出g（x）的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值；
（2）根據(jù)定積分的幾何意義得到S=${∫}_{1}^{2}$（f（x）-g（x））dx，根據(jù)定積分的法則計(jì)算即可．

解答 解：（1）f（x）=3x²-3，g（x）=${∫}_{0}^{x}$f（t）dt（x＞0），
∴g（x）=（t³-3t）|${\;}_{0}^{x}$=x³-3x，
∴g′（x）=3x²-3，
令g′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)g（x）＞0時(shí)，即x＞1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)g（x）＜0時(shí)，即0＜x＜1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
故g（x）_min=g（1）=1-3=-2，
（2）由f（x），g（x），x=1，x=2所成的圖形的面積S=${∫}_{1}^{2}$（f（x）-g（x））dx=${∫}_{1}^{2}$（f（x）-g（x））dx=${∫}_{1}^{2}$（3x²-3-x³+3x）dx=（x³-3x-$\frac{1}{4}$x⁴+$\frac{3}{2}$x²）|${\;}_{1}^{2}$=$\frac{19}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的計(jì)算和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握法則，屬于基礎(chǔ)題．