Question

16．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n}+1}$（n=1，2，3…）
（1）設(shè)b_n=|a_n-$\sqrt{3}$|，證明：b_n+1＜b_n；
（2）證明：b₁+b₂+…+b_n＜$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)題意易知a_n＞0．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，其中當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)通分再放縮可知b_k+2=|$\frac{（\sqrt{3}-1）（{a}_{k+1}-\sqrt{3}）}{{a}_{k+1}+1}$|＜（$\sqrt{3}-1$）|a_k+1-$\sqrt{3}$|，計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)（1）可知b_n+1＜（$\sqrt{3}-1$）b_n＜$（\sqrt{3}-1）^{2}$b_n-1＜…＜$（\sqrt{3}-1）^{n}$b₁，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 證明：（1）依題意，易知a_n＞0．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，a₂=$\frac{{a}_{1}+3}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1+3}{1+1}$=2，
∴b₁=|1-$\sqrt{3}$|=$\sqrt{3}-1$＞b₂=|2-$\sqrt{3}$|=$2-\sqrt{3}$；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)有b_k+1＜b_k，即b_k+1=|a_k+1-$\sqrt{3}$|＜b_k=|a_k-$\sqrt{3}$|，
則b_k+2=|a_k+2-$\sqrt{3}$|=|$\frac{{a}_{k+1}+3}{{a}_{k+1}+1}$-$\sqrt{3}$|
=|$\frac{（\sqrt{3}-1）（{a}_{k+1}-\sqrt{3}）}{{a}_{k+1}+1}$|
＜（$\sqrt{3}-1$）|a_k+1-$\sqrt{3}$|
=（$\sqrt{3}-1$）b_k+1
＜b_k+1，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
由①、②可知：b_n+1＜b_n；
（2）由（1）可知b_n+1＜（$\sqrt{3}-1$）b_n＜$（\sqrt{3}-1）^{2}$b_n-1＜…＜$（\sqrt{3}-1）^{n}$b₁，
∴b₁+b₂+…+b_n＜$\sqrt{3}-1$+$（\sqrt{3}-1）^{2}$+…+$（\sqrt{3}-1）^{n}$
=$\frac{（\sqrt{3}-1）[1-（\sqrt{3}-1）^{n}]}{1-（\sqrt{3}-1）}$
=$（\sqrt{3}+1）$$[1-（\sqrt{3}-1）^{n}]$
＜$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．