Question

【題目】已知的展開(kāi)式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10∶1.

(1)求展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和；

(2)求展開(kāi)式中含的項(xiàng)；

(3)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

【答案】(1)1；(2)－16.(3)答案見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)利用賦值法，令 可得展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是1.

(2)首先寫(xiě)出通項(xiàng)公式，據(jù)此可得展開(kāi)式中含的項(xiàng)是－16.

(3)由題意求解不等式即可求得系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)分別為T7＝1 792和T5＝1 120.

試題解析：

由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為，第三項(xiàng)的系數(shù)為，則有，化簡(jiǎn)得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．

(1)令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2)8＝1.

(2)通項(xiàng)公式＝ ＝ ，

令－2k＝，則k＝1，故展開(kāi)式中含的項(xiàng)為T2＝－16.

(3)設(shè)展開(kāi)式中的第k項(xiàng)，第k＋1項(xiàng)，第k＋2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為

， ， ，

若第k＋1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則解得5.

又T6的系數(shù)為負(fù)，∴系數(shù)最大的項(xiàng)為T7＝1 792.

由n＝8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí)T5＝1 120.