Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）.以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知點P的極坐標(biāo)為，Q為曲線上的動點，求的中點M到曲線的距離的最大值.

Answer 1

【答案】（1），.（2）

【解析】

（1）化簡得到，再考慮，利用極坐標(biāo)方程公式得到答案.

（2）P的直角坐標(biāo)為，設(shè)點，故，代入圓方程得到M在圓心為，半徑為1的圓上，計算得到最大距離.

（1）因為，所以3×①+4×②，得.

又，

所以的普通方程為，

將，代入曲線的極坐標(biāo)方程，得曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（2）由點P的極坐標(biāo)，可得點P的直角坐標(biāo)為.

設(shè)點，因為M為的中點，所以

將Q代入的直角坐標(biāo)方程得，

即M在圓心為，半徑為1的圓上.

所以點M到曲線距離的最大值為，

由（1）知不過點，且，

即直線與不垂直.

綜上知，M到曲線的距離的最大值為.