Question

【題目】如圖，在三棱柱，中，側(cè)面是菱形，是中點(diǎn)，平面，平面與棱交于點(diǎn)，．

（1）求證：四邊形為平行四邊形；

（2）若與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或

【解析】

（1）由已知可得平面，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，可得，再由面面平行的性質(zhì)定理，可證，即可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)已知可得兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，確定出點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面法向量坐標(biāo)，由空間向量的線(xiàn)面角公式，建立關(guān)系，即可求解.

（1）證明：在三棱柱中，側(cè)面為平行四邊形，

所以，又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面，因?yàn)?/span>平面，

且平面平面，所以．

因?yàn)樵谌�棱�?/span>中，平面平面，

平面平面，平面平面．

所以，故四邊形為平行四邊形．

（2）在中，因?yàn)?/span>，

是的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?/span>平面，所以，，

以，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，

建立如圖空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，在中，，

，所以，所以，

，，，

則所以，．

因?yàn)?/span>，所以，

即．因?yàn)?/span>，所以．

設(shè)平面的法向量為．

因?yàn)?/span>，即，所以．

令，則，，所以．

因?yàn)?/span>，

所以，即，

所以或，即或，

所以或．