Question

【題目】已知橢圓：的左焦點為.

（1）求橢圓的離心率；

（2）設為坐標原點，為直線上一點，過作的垂線交橢圓于，.當四邊形是平行四邊形時，求四邊形的面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題意可得，，，再結合求出，即可得橢圓的離心率；

（2）設，由求出直線方程，設，，聯(lián)立直線與橢圓的方程并消元，由韋達定理得到根與系數的關系，由四邊形是平行四邊形得到，從而解出，即可計算四邊形的面積.

解：（1）由題意可得，，，

又由，，解得，

橢圓的離心率.

（2）設點的坐標為，

則直線的斜率，

當時，直線的斜率，直線的方程是.

當時，直線的方程是，也滿足方程，

設，，

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得，

消去，得，

其判別式，

，，，

四邊形是平行四邊形，

，即，

，

，

解得，

，

，

平行四邊形的面積為.