Question

10．已知函數(shù)f（x）=cos²x+a|sinx|+$\frac{1}{4}$a-$\frac{3}{2}$的最大值為1．求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 通過平方關(guān)系，利用合換元法和配方法得f（t）=-t²+at+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$，對a分類討論，結(jié)合函數(shù)的最值，即可求出a的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=cos²x+a|sinx|+$\frac{1}{4}$a-$\frac{3}{2}$
=1-sin²x+a|sinx|+$\frac{1}{4}$a-$\frac{3}{2}$
=-${（|sinx|-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$，
設(shè)|sinx|=t，
則y=f（t）=-t²+at+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$，t∈[0，1]，對稱軸為t=$\frac{a}{2}$；
當$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0時，y_max=f（0）=$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$=1，a=6（舍去）；
當0≤$\frac{a}{2}$≤1，即0≤a≤2時，y_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$a-$\frac{1}{2}$=1，此時a=2或a=-3（舍去）；
當$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2時，y_max=f（1）=$\frac{5}{4}$a-$\frac{3}{2}$=1，解得a=2（舍去）；
綜上，實數(shù)a=2．

點評 本題考查了三角函數(shù)的最值的應用問題，也考查分類討論思想，配方法、換元法的應用問題，注意三角函數(shù)的有界性，是解題的關(guān)鍵．