Question

【題目】已知可以表示為一個(gè)奇函數(shù)g（x）與一個(gè)偶函數(shù)h（x）之和，若不等式對(duì)于恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

試題依題意，g(x)+h(x)=.....（1），∵g(x)是奇函數(shù)，∴g(-x)=-g(x)；∵h(yuǎn)(x)是偶函數(shù)，∴h(-x)=h(x)；

∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)="......(2)

解(1)和(2)組成的方程組得h(x)=，g(x)=

∴ag(x)+h(2x)=a+，∴a·+≥0在x∈[1,2]恒成立

令t=，∴=，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，t∈[2,4]，

∴原不等式化為a(t－)+(t2+)≥0在t∈[2,4]上恒成立，由不等式a(t－)+(t2+)≥0，

可得a(t－)≥－(t2+)，∵當(dāng)t∈[2,4]時(shí)，t－t>0恒成立，∴a≥==，即a≥在t∈[2,4]上恒成立，

令u=t－,求導(dǎo)得=1+>0恒成立，∴u=t-在t∈[2,4]上單調(diào)遞增

∴u∈[]，令f(u)=u+，u∈[]，

求導(dǎo)得(u)=1->0在u∈[]上恒成立，∴f(u)在u∈[]上單調(diào)遞增

即當(dāng)u=，f(u)取最小值f()=，

當(dāng)u=時(shí)，可解得t=2（另一根不在t∈[2,4]內(nèi)故舍去）

∴當(dāng)t=2時(shí)，取最小值為，即取最大值為－，∴a≥－，當(dāng)t=2，x=1時(shí)取等號(hào)，∴a的最小值為－．