Question

已知a，b∈R，求證：

|a+b|

1+|a+b|

≤

|a|

1+|a|

+

|b|

1+|b|

．

Answer 1

分析：先令f（x）=

x

1+x

（x≥0），證f（x）單調(diào)遞增，再利用其單調(diào)性對(duì)不等式左式進(jìn)行兩次放縮即可．

解答：證明：令f（x）=

x

1+x

（x≥0），易證f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
|a+b|≤|a|+|b|，
∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），
即

|a+b|

1+|a+b|

≤

|a|+|b|

1+|a|+|b|

=

|a|

1+|a|+|b|

+

|b|

1+|a|+|b|

≤

|a|

1+|a|

+

|b|

1+|b|

．

點(diǎn)評(píng)：在證明不等式的時(shí)候，在直接證明遇到困難的時(shí)候，可以利用不等式的傳遞性，把要證明的不等式加強(qiáng)為一個(gè)易證的不等式，即欲證A＞B，我們可以適當(dāng)?shù)恼乙粋�(gè)中間量C作為媒介，證明A＞C且C＞B，從而得到A＞B．我們把這種把B放大到C（或把A縮小到C）的方法稱為放縮法．