Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F的直線l交拋物線C于點(diǎn)A，B，當(dāng)直線l的傾斜角是45°時，AB的中垂線交y軸于點(diǎn)Q（0，5）．
（1）求p的值；
（2）以AB為直徑的圓交x軸于點(diǎn)M，N，記劣弧

MN

的長度為S，當(dāng)直線l繞F旋轉(zhuǎn)時，求

S

|AB|

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,直線與圓的位置關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出l的方程為y=x+

p

2

，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，推出中垂線方程，結(jié)合AB的中垂線交y軸于點(diǎn)Q（0，5）．求出p即可．
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，代入x²=4y，求出AB的距離以及AB中點(diǎn)為D（2k，2k²+1），令∠MDN=2α，求出S的表達(dá)式，推出關(guān)系式

S

|AB|

=α，利用D到x軸的距離|DE|=2k²+1，求出cosα=

|DE|

1 2 |AB|

=

2k2+1

2k2+2

，然后求解

S

|AB|

的最大值．

解答： 解：（1）拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，F(0，

p

2

)，
當(dāng)l的傾斜角為45°時，l的方程為y=x+

p

2

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=x+ p 2 x2=2py

，得x²-2px-p²=0，
x₁+x₂=2p，y₁+y₂=x₁+x₂+p=3p，得AB中點(diǎn)為D(p，

3

2

p)…（3分）
AB中垂線為y-

3

2

p=-(x-p)，
x=0代入得y=

5

2

p=5．
∴p=2…（6分）
（2）設(shè)l的方程為y=kx+1，代入x²=4y得x²-4kx-4=0，
|AB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k2+4，
AB中點(diǎn)為D（2k，2k²+1）
令∠MDN=2α，S=2α•

1

2

|AB|=α•|AB|，
∴

S

|AB|

=α…（8分）
D到x軸的距離|DE|=2k²+1，
cosα=

|DE|

1 2 |AB|

=

2k2+1

2k2+2

…（10分）     
當(dāng)k²=0時cosα取最小值

1

2

，α的最大值為

π

3

．
故

S

|AB|

的最大值為

π

3

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與拋物線方程的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，以及圓的方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．