Question

【題目】已知橢圓的左.右焦點(diǎn)分別為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，直線的斜率為，求的值；

（2）已知點(diǎn)是橢圓上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn)，延長直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程作差并整理，則可求出的值．

（2）設(shè)（），，先計(jì)算有一條直線斜率不存在對應(yīng)的斜率之積的值，再討論一般情況，求出B，D坐標(biāo)，化簡斜率得出結(jié)論．

（1）設(shè)，將，作差可得

，，，

所以；

（2）設(shè)（），，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，

直線的方程為代入，可得

∴，，則，

∴直線的斜率為，直線的斜率為，

∴，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，同理可得.

當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，，

設(shè)直線的方程為，則由消去可得：

，

又，則，代入上述方程可得

，

∴，

∴，則

∴，設(shè)直線的方程為，

同理可得

∴直線的斜率為，

∵直線的斜率為，

∴

所以直線與的斜率之積為定值，即.