Question

【題目】函數(shù)，.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，，為曲線上兩點，且，設(shè)直線斜率為，，證明：

Answer 1

【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）（3）見證明

【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）恒成立，等價于恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，從而可得結(jié)果; （3）要證即證，設(shè)，只需證明 ，其中，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可得結(jié)論.

（1）當(dāng)時，函數(shù)，.

.

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）恒成立，即恒成立，整理得：恒成立，設(shè)，則，令，得，所以，在上函數(shù)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，因此.

（3），

又，所以

要證.

即證，因為，

即證，

設(shè)，即證：，

也就是要證：，其中，

設(shè)，

則 ，

所以在上單調(diào)遞增，因此.即：.