Question

4．設(shè)橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率與雙曲線x²-y²=1的離心率互為倒數(shù)，且橢圓與y軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，$\sqrt{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）若直線y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-m）交橢圓與A，B兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)C（$\sqrt{2}$，1），求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得雙曲線的離心率，由題意可得橢圓的離心率，求得a，b，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，由三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，
由題意可得橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由b=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²，得a=2，c=$\sqrt{2}$，
故橢圓M的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}（x-m）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得2x²-2mx+m²-4=0，
由△=4m²-8（m²-4）＞0，
得-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$．且x₁+x₂=m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
所以|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{{m}^{2}-2（{m}^{2}-4）}$
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$•$\sqrt{8-{m}^{2}}$．
又C到直線AB的距離為d=$\frac{|1-\frac{\sqrt{2}}{2}m-1|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{3}}$，
所以S△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{m}^{2}（8-{m}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$•$\frac{{m}^{2}+8-{m}^{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=±2∈（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）時(shí)取等號，
所以△ABC面積的最大值為$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式，考查直線和橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．