Question

（本小題12分）橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線過(guò)圓的圓心，交橢圓于兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：

(Ⅰ)依題可設(shè)橢圓方程為,

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以 ，則     ……2分

在△中，， 故,

從而，

 所以橢圓的方程為 .                                    ……4分

(Ⅱ)（解法一）設(shè)的坐標(biāo)分別為。

   已知圓的方程為,所以圓心的坐標(biāo)為.

   從而可設(shè)直線的方程為,

   代入橢圓的方程得.……8分

   因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121810245540472137/SYS201212181026024672111510_DA.files/image013.png">關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱. 所以 且  

   解得，所以直線的方程為 即

   (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)                                 ……12分

（解法二）已知圓的方程為，故圓心為.

          設(shè)的坐標(biāo)分別為。

          由題意  ①

                ②

         由①－②得：        ③

         因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012121810245540472137/SYS201212181026024672111510_DA.files/image013.png">關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，

         代入③得， 即直線的斜率，               ……10分

         所以直線的方程為，即

        (經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)                            ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.

點(diǎn)評(píng)：直線與圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線等）的位置關(guān)系是每年高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，學(xué)生在復(fù)習(xí)備考時(shí)，要了解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題的解決方法，尤其是通性通法和常用技巧，如設(shè)而不求、點(diǎn)差法等，另外還要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣.