Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，3a_n+2=2a_n+1+a_n，求a_n．

Answer 1

分析 由3a_n+2=2a_n+1+a_n，變形為：a_n+2-a_n+1=-$\frac{1}{3}$（a_n+1-a_n），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”即可得出．

解答 解：由3a_n+2=2a_n+1+a_n，
變形為：a_n+2-a_n+1=-$\frac{1}{3}$（a_n+1-a_n），
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為-$\frac{1}{3}$．
∴a_n+1-a_n=$（-\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$（-\frac{1}{3}）^{n-2}$+$（-\frac{1}{3}）^{n-3}$+…+$（-\frac{1}{3}）$+1+1
=$\frac{1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}}{1-（-\frac{1}{3}）}$+1
=$\frac{3}{4}$$[1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}]$+1．當(dāng)n=1，2時(shí)也成立．
∴a_n=$\frac{3}{4}$$[1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}]$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．