Question

設(shè)函數(shù)f(x)=(a-1)x-

1

x

-alnx（a≤2）
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（II）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)+

n

2(n+1)

對任意n∈N*都成立．

Answer 1

分析：（I）f（x）的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=(a-1)+

1

x2

-

a

x

=

[(a-1)x-1](x-1)

x2

（x＞0），令g（x）=（x-1）[（a-1）x-1]，分類討論，確定g（x）的正負(fù)，即可得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而可得函數(shù)的單調(diào)性；
（II）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=k+1時，利用分析法進(jìn)行證明．

解答：（I）解：f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=(a-1)+

1

x2

-

a

x

=

[(a-1)x-1](x-1)

x2

（x＞0）
令g（x）=（x-1）[（a-1）x-1]，…（1分）
①當(dāng)a=2時，對任意x∈（0，+∞），f′（x）=

(x-1)2

x2

≥0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a≤1時，f′(x)=

-[(1-a)x+1](x-1)

x2

，
∵-[（1-a）x+1]＜0對任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴x≥1時，f′（x）≤0，0＜x＜1時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)；
③當(dāng)1＜a＜2時，令f′（x）≤0可得1≤x≤

1

a-1

，令f′（x）≥0可得0＜x≤1或x≥

1

a-1

，
∴函數(shù)在（0，1]和[

1

a-1

，+∞）上是增函數(shù)，在[1，

1

a-1

）上是減函數(shù)；
（II）證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊-右邊=1-(ln2+

1

4

)=

3

4

-ln2=

1

4

(lne3-ln16)＞0
不等式成立…（7分）
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞ln(k+1)+

k

2(k+1)

成立
那么，當(dāng)n=k+1時，左邊=(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

)+

1

k+1

＞[ln(k+1)+

k

2(k+1)

]+

1

k+1

+

1

k+1

…（8分）
下面證明：[ln(k+1)+

k

2(k+1)

]+

1

k+1

≥ln[(k+1)+1]+

k+1

2(k+2)

即證

k+2

k+1

-

k+1

k+2

-2ln

k+2

k+1

≥0…（9分）
由（Ⅰ）知當(dāng)a=2時，f(x)=x-

1

x

-2lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增
則對任意k∈N^*，都有f(

k+2

k+1

)≥f(1)=0成立
即對任意k∈N^*，都有

k+2

k+1

-

k+1

k+2

-2ln

k+2

k+1

≥0成立
因此n=k+1時成立
由（1）（2）及數(shù)學(xué)歸納法原理知
原不等式對任意n∈N^*都成立．…（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查不等式的證明，考查數(shù)學(xué)歸納法與分析法的運用，綜合性強(qiáng)．