Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）若a=-1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）若a=-1，則f′（x）=（x²+x-2）e^x，
由f′（x）=（x²+x-2）e^x＞0，解得x＞1或x＜-2，即函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，-2）與（1，+∞），
由f′（x）=（x²+x-2）e^x＜0，解得-2＜x＜1，即函數(shù)的減區(qū)間為（-2，1）；
（2）∵f′（x）=[x²+（a+2）x+2a]e^x，由f′（x）≥0⇒x²+（a+2）x+2a≥0對于x∈R恒成立，
則△=（a+2）²-8a≤0⇒（a-2）²≤0，
又（a-2）²≥0，∴a=2

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．