Question

【題目】在等腰直角中，，分別為，的中點(diǎn)，，將沿折起，使得二面角為.

（1）作出平面和平面的交線(xiàn)，并說(shuō)明理由；

（2）二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】分析：（1）通過(guò)找到解題思路，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定、性質(zhì)以及公理“過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)，作平面內(nèi)一條直線(xiàn)的平行線(xiàn)有且只有一條”說(shuō)明理由.

（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)B所在方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用空間向量，分別求得兩平面的法向量，兩平面法向量夾角

詳解：（1）在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)即為所求.

證明：因?yàn)?/span>，而在面外，在面內(nèi)，所以，面.

同理，面，于是在面上，從而即為平面和平面的交線(xiàn).

（2）由題意可得為二面角的平面角，所以，.

過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，則面.

以為原點(diǎn)，為軸正方向，為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系；

則，，，，，

從而，，

設(shè)面的一個(gè)法向量為,

則由得，所以，不妨取.

由面知平面的法向量不妨設(shè)為

于是，，

所以二面角的余弦值為.