Question

12．若0＜a≤b，且f（x）=$\frac{1}{2}$abx+log₃（3^-x+1）為偶函數(shù)，則a+2b的取值范圍是（　�。�

• A． （2$\sqrt{2}$，+∞）
• B． [2$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （3，+∞）
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系，得到ab=1，然后利用基本不等式進(jìn)行化簡求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$abx+log₃（3^-x+1）為偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x），
即-$\frac{1}{2}$abx+log₃（3^x+1）=$\frac{1}{2}$abx+log₃（3^-x+1），
即abx=log₃（3^x+1）-log₃（3^-x+1）=log₃$\frac{{3}^{x}+1}{{3}^{-x}+1}$=log₃（$\frac{{3}^{x}+1}{1+{3}^{x}}•$3^x）=log₃3^x=x，
則ab=1，
∵0＜a≤b，
∴0＜a²≤ab=1，
即0＜a≤1，
則a+2b=a+$\frac{2}{a}$，
設(shè)g（a）=a+$\frac{2}{a}$，
則g（a）=a+$\frac{2}{a}$在（0，1]上為減函數(shù)，
∴g（a）≥g（1）=1+2=3，
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義求出ab=1是解決本題的關(guān)鍵．