Question

在等差數列中，，．令，數列的前項和為．

（1）求數列的通項公式；

（2）求數列的前項和；

（3）是否存在正整數，（）,使得，，成等比數列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1） （2） （3）存在滿足條件的正整數、，此時，

【解析】

試題分析：（1）因為數列為等差數列，由可求首項及公差,進而求得；

（2）由（1）和題意易求得，即可求得；

（3）由（2）知，，，，先假設存在正整數、 ，使得、、成等比數列，可得，即，整理可得（*）當時，（*）式可化為 ，所以；當時，，由得，此時無正整數解，即可求得結果．

試題解析：（1）設數列的公差為，由得

解得，∴

（2）∵

∴

（3）由（2）知，，，

假設存在正整數、 ，使得、、成等比數列，

則 ， 即

經化簡，得

∴

∴ （*）

當時，（*）式可化為 ，所以

當時，

又∵，∴（*）式可化為 ，所以此時無正整數解．

綜上可知，存在滿足條件的正整數、，此時，．

考點：等差數列的性質；裂項求和；等比數列的性質．