Question

如圖所示，C，D是兩個(gè)小區(qū)的所在地，C，D到一條公路AB的垂直距離分別為CA=1km，DB=2km，AB兩地之間的距離為4km
（1）如圖一所示，某移動公司將在AB之間找一點(diǎn)M，在M處建造一個(gè)信號塔，使得M對C，D的張角與M對C，A的張角相等，試確定點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離；
（2）如圖二所示，某公交公司將在AB之間找一點(diǎn)N，在N處建造一個(gè)公交站臺，使得N對C，D兩個(gè)小區(qū)的視角∠CND最大，試確定點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正切,兩角和與差的正切函數(shù)

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）設(shè)MA=x，∠CMA=α，則∠CMD=α，∠BMD=π-2α．依題意，可用x表示出tanα，tan2α，由二倍角的正切可解得x的值，即求出點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離；
（2）設(shè)∠CNA=α，∠DNB=β，則∠CND=π-（α+β），設(shè)NB=4-x，所以tanα，tanβ，tan∠CND=

x+4

x2-4x+2

，即可求出最大的角∠CND，確定點(diǎn)N到點(diǎn)A的距離．

解答： 解：（1）設(shè)MA=x，∠CMA=α，
則∠CMD=α，∠BMD=π-2α．
依題意，tanα=

1

x

，tan2α=-

2

4-x

，
由tan2α=

2tanα

1-tan2a

得

-2

4-x

=

2 x

1- 1 x

，解得x=

1

4

，
故點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離為

1

4

km．
（2）設(shè)∠CNA=α，∠DNB=β，則∠CND=π-（α+β）．
設(shè)NB=4-x，所以tanα=

1

x

，tanβ=

2

4-x

，tan∠CND=tan[π-(α+β)]=-tan(α+β)=

x+4

x2-4x+2

，
記f(x)=

x+4

x2-4x+2

，(0＜x＜4)，f（x）=

x+4

x2-4x+2

，（0＜x＜4，且x≠2±

2

），
對x的范圍進(jìn)行分類討論：
①當(dāng)x接近這2±

2

這兩個(gè)值時(shí)，f（x）趨近于正無窮，此時(shí)∠CDN為90°；
②當(dāng)x≠2±

2

時(shí)，0＜x＜2-

2

或2+

2

＜x＜4時(shí)，∠CDN為銳角；
③當(dāng) 2-

2

＜x＜2+

2

時(shí)，∠CDN為鈍角；
令x+4=t，則6-

2

＜t＜6+

2

，
有f(x)=

t

t2-12t+34

=

1

t+ 34 t -12

≤

1

2 34 -12

=-

6+ 34

4

，
故當(dāng)且僅當(dāng)t=

34

時(shí)，ymax=-

6+ 34

4

，此時(shí)∠CDN最大，對應(yīng)地，x=t-4=-4+

34

．

點(diǎn)評：本題主要考察了兩角和與差的正切函數(shù)公式的應(yīng)用，解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查了利用基本不等式求最值，解答的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是中檔題．