Question

15．解關(guān)于x的不等式ax²+（a-1）x-1＜0．

Answer 1

分析 討論a=0時(shí)和a≠0時(shí)，不等式對(duì)應(yīng)的解集是什么，從而求得不等式的解集．

解答 解：（1）a=0時(shí)，原不等式可化為x+1＞0，即x＞-1，此時(shí)原不等式的解集為{x|x＞-1}；
（2）a≠0時(shí)，△=（a-1）²+4a=（1+a）²≥0，方程ax²+（a-1）x-1=0可化為（ax-1）（x+1）=0，
∴x=-1或x=$\frac{1}{a}$；
①當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{1}{a}$＞-1，∴原不等式可化為（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）＜0，
∴其解集為{x|-1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，$\frac{1}{a}$＜-1，且原不等式可化為（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）＞0，
∴其解集為{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞-1}；
③當(dāng)a=-1時(shí)，$\frac{1}{a}$=-1，且原不等式可化為（x+1）²＞0，
其解集為{x|x≠1}；
④當(dāng)a＜-1時(shí)，$\frac{1}{a}$＞-1，且原不等式可化為（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）＞0，
∴其解集為{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{a}$}；
綜上，a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞-1}；
a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|-1＜x＜$\frac{1}{a}$}；
-1＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜$\frac{1}{a}$或x＞-1}；
a=-1時(shí)，不等式的解集為{x|x≠1}；
a＜-1時(shí)，不等式的解集為{x|x＜-1或x＞$\frac{1}{a}$}．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)a正確分類(lèi)討論和熟練掌握一元二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵，是中檔題．