Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，2^S_n=n
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）求數(shù)列{2${\;}^{{S}_{n}+n}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由2^S_n=n，可得S_n=log₂n，當n=1時，a₁=S₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．
（II）2${\;}^{{S}_{n}+n}$=${2}^{{S}_{n}}•{2}^{n}$=n•2ⁿ．利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式可得數(shù)列{2${\;}^{{S}_{n}+n}$}的前n項和T_n．

解答 解：（I）∵2^S_n=n，
∴S_n=log₂n，
當n=1時，a₁=S₁=0．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=log₂n-log₂（n-1）=$lo{g}_{2}\frac{n}{n-1}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{lo{g}_{2}\frac{n}{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）2${\;}^{{S}_{n}+n}$=${2}^{{S}_{n}}•{2}^{n}$=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{2${\;}^{{S}_{n}+n}$}的前n項和T_n=2+2•2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式、指數(shù)與對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．