Question

【題目】如圖，直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，，，為圓上三個(gè)定點(diǎn)，某同學(xué)從點(diǎn)開(kāi)始，用擲骰子的方法移動(dòng)棋子．規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從一個(gè)定點(diǎn)沿圓弧移動(dòng)到相鄰下一個(gè)定點(diǎn)；②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則按圖中箭頭方向移動(dòng)；若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則按圖中箭頭相反的方向移動(dòng)．設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為，，．例如：擲骰子一次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為，，．

（1）分別擲骰子二次，三次時(shí)，求棋子分別移動(dòng)到，，處的概率；

（2）擲骰子次時(shí)，若以軸非負(fù)半軸為始邊，以射線，，為終邊的角的余弦值記為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）記，，，其中．證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）證明詳見(jiàn)解析，.

【解析】

（1）由概率的乘法公式，可得所求值；

（2）隨機(jī)變量的可能數(shù)值為1，，結(jié)合（1）運(yùn)用概率的乘法公式，可隨機(jī)變量的分布列和期望；

（3）易知，即，由條件推得，利用構(gòu)造法可得，從而求得的值.

（1），，

，，

綜上，

棋子位置 擲骰子次數(shù)
2
3

（2）隨機(jī)變量的可能數(shù)值為1，.

綜合（1）得

，

，

故隨機(jī)變量的分布列為

.

（3）易知，因此，

而當(dāng)時(shí)，，

又，

即.

因此，

故

即數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.

所以，

又

故.