Question

現(xiàn)有m（m≥2）個不同的數(shù)P₁、P₂、P₃、…、P_n．將他們按一定順序排列成一列．對于其中的兩項P_i和P_j，若滿足：1≤i＜j≤m且P_i＞P_j（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱P_i與P_j構(gòu)成一個逆序．一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)．記排列（n+1）、n、（n-1）、…3、2、1的逆序數(shù)為a_n．如排列2、1的逆序數(shù)a₁=1，排列3、2、1的逆序數(shù)a₂=3．
（1）求a₃、a₄、a₅；
（2）求a_n的表達(dá)式；
（3）令bn=

an

an+1

+

an+1

an

，證明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（1）由已知條件我們用列舉法易得a₃、a₄、a₅
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及a₁、a₂的值，我們利用歸納推理不難得到a_n的表達(dá)式
（3）要證明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，關(guān)鍵要根據(jù)（2）的結(jié)論及bn=

an

an+1

+

an+1

an

，將bn表達(dá)出來，并利用數(shù)列求和的方法解決問題．

解答：解：（I）由已知得a₃=6，a₄=10，a₅=15，
（II）∵a₁=1，
a₂=3=2+1，
a₃=6=3+2+1，
a₄=10=4+3+2+1，
a₅=15=5+4+3+2+1，
…
∴不妨猜想an=n+(n-1)+…+2+1=

n(n+1)

2

（III）因為an=n+(n-1)+…+2+1=

n(n+1)

2

，
又因為bn=

n

n+2

+

n+2

n

=2+

2

n

-

2

n+2

，n=1，2，，
所以b₁+b₂+…+b_n=2n+2[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=2n+3-

2

n+1

-

2

n+2

＜2n+3．
綜上，b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，．

點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想），（3）中將bn表達(dá)出來，利用數(shù)列求和的方法不難給出b₁+b₂+…+b_n的表達(dá)式，但要想證明出結(jié)果，要使用不等式的傳遞性（放縮法）進(jìn)行證明．