Question

如圖，正三角形ABC的邊長為2，D，E，F(xiàn)分別在三邊AB，BC和CA上，且D為AB的中點(diǎn)，，，.

（1）當(dāng)時，求的大��；

（2）求的面積S的最小值及使得S取最小值時的值.

 

 

Answer 1

（1）θ＝60?；（2）當(dāng)θ＝45?時，S取最小值.

【解析】

試題分析：本題主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定義、兩角和的正弦公式、倍角公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用兩角和的正弦公式展開，解出，利用特殊角的三角函數(shù)值求角；第二問，將第一問得到的DF和DE代入到三角形面積公式中，利用兩角和的正弦公式和倍角公式化簡表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的有界性確定S的最小值.

在△BDE中，由正弦定理得，

在△ADF中，由正弦定理得． 4分

由tan∠DEF＝，得，整理得，

所以θ＝60?． 6分

（2）S＝DE·DF＝

． 10分

當(dāng)θ＝45?時，S取最小值． 12分

考點(diǎn)：正弦定理、直角三角形中正切的定義、兩角和的正弦公式、倍角公式、三角形面積公式.