Question

7．曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（x∈[-2，2]）與直線y=k（x-2）+4有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{5}{12}$）
• B． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{5}{12}$，+∞）
• D． （$\frac{5}{12}$，$\frac{3}{4}$]

Answer 1

分析 如圖所示，曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），化為x²+（y-1）²=4（1≤y≤3）．直線y=k（x-2）+4經(jīng)過定點(diǎn)（2，4）．當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)P的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-4=k（x-2），由點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心（0，1）到直線的距離d＜2，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（-2，1）時(shí)，k=$\frac{3}{4}$．即可得出．

解答 解：如圖所示，
曲線y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（x∈[-2，2]），
化為x²+（y-1）²=4（1≤y≤3）．
直線y=k（x-2）+4經(jīng)過定點(diǎn)（2，4）．
直線x=2與半圓y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$相切于一點(diǎn)（2，1）；
當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)P的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-4=k（x-2），
則圓心（0，1）到直線的距離d=$\frac{|-1+4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜2，
解得$k＞\frac{5}{12}$．
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（-2，1）時(shí)，k=$\frac{4-1}{2-（-2）}$=$\frac{3}{4}$．
綜上可得：k的取值范圍是$（\frac{5}{12}，\frac{3}{4}]$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓相交相切問題、斜率計(jì)算公式，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法與計(jì)算能力，屬于中檔題．