Question

【題目】已知點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn)，且橢圓N的離心率為.

（1）求橢圓N的方程；

（2）已知是橢圓N的左焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，交橢圓N于兩點(diǎn)，交橢圓N于兩點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)得出的值，即可得出橢圓的方程；

（2）分情況討論，當(dāng)直線有一條斜率不存在時，；

當(dāng)斜率存在且不為0時，設(shè)其方程為，，將方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理得出，，利用弦長公式得出，，進(jìn)而得出，再利用換元法得出的取值范圍.

解：（1）由題意，.

∵，∴，，

∴橢圓N的方程為.

（2）由（1）的橢圓方程，得.

①當(dāng)直線有一條斜率不存在時，.

②當(dāng)斜率存在且不為0時，設(shè)其方程為，，

聯(lián)立，得.

∴，.

∴.

把代入上式，可得

∴，設(shè)

∴

∵，∴.

綜上，的取值范圍是.