Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，且直線l經(jīng)過曲線C的左焦點(diǎn)F．

（1）求直線l的普通方程；

（2）設(shè)曲線C的內(nèi)接矩形的周長為L，求L的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x＋2y＋1＝0（2）

【解析】

(1)由極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)的公式可得到曲線C的普通方程，消去參數(shù)t可得到直線普通方程，再代入F點(diǎn)坐標(biāo)可得到直線方程；（2）橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為（，sinθ）內(nèi)接矩形的周長為，化一求最值即可.

（1）因?yàn)榍�線C的極坐標(biāo)方程為，即ρ2＋ρ2sin2θ＝2．

將ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)，代入上式，得

x2＋2y2＝2，即．

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為．

于是c2＝a2－b2＝1，所以F（－1，0）．

由消去參數(shù)t，

得直線l的普通方程為．

將F（－1，0）代入直線方程得．

所以直線l的普通方程為x＋2y＋1＝0．

（2）設(shè)橢圓C的內(nèi)接矩形在第一象限的頂點(diǎn)為（，sinθ）（），

所以橢圓C的內(nèi)接矩形的周長為（其中），故橢圓C的內(nèi)接矩形的周長的最大值．