Question

12．在市高三第一次模擬考試數(shù)學學科考試后，某同學對老師說：第（Ⅰ）卷為十道選擇題，每題5分，前六道沒錯，第7、8、9三題均有兩個選項能排除，第10題只有一個選項能排除．
（Ⅰ）求該同學選擇題得40分的概率；
（Ⅱ）若（Ⅱ）卷能拿65分，該同學數(shù)學得分的期望和得分不低于100分的概率．

Answer 1

分析 （I）確定第7、8、9三題做對的概率，第10題做對的概率，運用題意得出P=${C}_{3}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{8}$．
（II）確定概率分布需要的概率，求解E（X），利用互斥事件的概率問題求解．

解答 解：（Ⅰ） 第7、8、9三題均有兩個選項能排除，
因此，第7、8、9三題做對的概率均為$\frac{1}{2}$，第10題只有一個選項能排除，
因此，第10題做對的概率為$\frac{1}{3}$．
所以，該同學選擇題得40（分）的概率P為：
P=${C}_{3}^{2}$（$\frac{1}{2}$）²（1-$\frac{1}{2}$）（1$-\frac{1}{3}$）+${C}_{3}^{1}$×$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{2}$）²×$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{8}$
（Ⅱ）設(shè)該同學7、8、9、10題中做對的題數(shù)為X，則隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{24}$

E（X）=0×$\frac{1}{12}$$+1×\frac{7}{24}$$+2×\frac{3}{8}$$+3×\frac{5}{24}$$+4×\frac{1}{24}$=$\frac{11}{6}$，
所以，該同學數(shù)學得分的期望為30$+5×\frac{11}{6}$+65=$104\frac{1}{6}$．
該同學數(shù)學得分不低于100分的概率為P=$\frac{7}{24}$$+\frac{3}{8}$$+\frac{5}{24}$$+\frac{1}{24}$=$\frac{11}{12}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，體現(xiàn)了化歸的重要思想