Question

7．已知F為拋物線y²=4x的焦點，過點F引一條直線與拋物線交于A、B兩點，與拋物線準線交于D點．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值；
（Ⅱ）在拋物線上是否存在一點M，使直線MA，MD，MB的斜率成等差數(shù)列，若存在，求出M的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設l：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則聯(lián)立方程化簡可得y²-4my-4=0，從而可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-3；
（Ⅱ）設M（a²，2a），則k_MA=$\frac{{y}_{1}-2a}{{x}_{1}-{a}^{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$，k_MB=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$，k_MD=$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$，可得2×$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$+$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$恒成立，從而可a²-1）（m+$\frac{1}{m}$）=0，即可求出點M的坐標．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，拋物線y²=4x的焦點坐標為（ 1，0），∴直線AB的方程為x=my+1（m≠0），
代入拋物線方程得y²-4my-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，x₁•x₂=1，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-3；
（Ⅱ）設M（a²，2a），
k_MA=$\frac{{y}_{1}-2a}{{x}_{1}-{a}^{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$，
同理，k_MB=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$，k_MD=$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$，
∵直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列，
∴2×$\frac{2a+\frac{2}{m}}{{a}^{2}+1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2a}$+$\frac{4}{{y}_{1}+2a}$恒成立；
又∵y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4，
∴（a²-1）（m+$\frac{1}{m}$）=0，
∴a=±1，
∴存在點M（1，2）或M（1，-2），使得對任意直線l，直線MA，MD，MB的斜率始終成等差數(shù)列．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系的應用，同時考查了學生的化簡能力，屬于中檔題．